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ANÁLISIS NUMÉRICO DE MODELOS
MATEMÁTICOS UNIDIMENSIONALES
APLICADOS EN BIOLOGÍA
NUMERICAL ANALYSIS OF ONE-DIMENSIONAL MATHEMATICAL
MODELS APPLIED IN BIOLOGY
Recibido: 30/03/2021 - Aceptado: 24/01/2022
JOHNNY FERNANDO HIDALGO RODRÍGUEZ
Docente de la Universidad Politécnica Estatal del Carchi
Tulcán - Ecuador
Máster en Ingeniería Matemática y Computación
Universidad Internacional de la Rioja - UNIR
johnny.hidalgo@upec.edu.ec
https://orcid.org/0000-0001-8436-7843
Cómo citar este artículo:
Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos
matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1,
339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Resumen
El presente trabajo de investigación tiene como propósito dar a conocer los principales modelos
matemáticos unidimensionales aplicados en Dinámica de Poblaciones en lo concerniente al área
de la biología (crecimiento de individuos y poblaciones). Estos modelos los cuales son lineales y no
lineales, utilizan ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales para describir de mejor
forma los fenómenos biológicos. El objetivo principal de este estudio fue la aplicación de Métodos
Numéricos de un paso (Heun y Runge-Kutta) y multipasos (Adams-Basforth y Adams-Moulton) para
la resolución de problemas de valor inicial, a los modelos matemáticos unidimensionales propuestos,
con el n de realizar comparaciones y determinar qué Método Numérico fue el que mejor se ajustó
a la solución analítica de cada Modelo Matemático; para esto, como herramienta informática de
apoyo para la representación de los datos y su forma gráca, se utilizó el programa MATLAB, el
cual es un sistema de cómputo numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado con un
lenguaje de programación propio. Se obtuvieron los resultados de la aplicación de cada método
numérico a la solución analítica de los diferentes modelos matemáticos en estudio; posteriormente
se representaron, gracaron e interpretaron estos resultados y, de toda la información y resultados
obtenidos se concluyó que es el método de Runge-Kutta de orden 4 el que mejor se ajustó o aproximó
a la solución analítica de cada uno de los cinco modelos; seguido del método de Adams-Basforth de
orden 4, el cual sólo presentó problemas al aplicarlo sobre el modelo de Gompertz, presentando
un comportamiento inestable en los datos obtenidos. El método que menos se ajustó en todos los
modelos es el de Heun de orden dos; el método de Adams-Moulton de orden 4 presentó
Palabras claves: Modelos Matemáticos, Métodos Numéricos, Dinámica de las Poblaciones,
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Problemas de Valor Inicial.
Abstract
The present research work has as purpose to present the main one-dimensional mathematical models
that have been applied in Population Dynamics in relation to the area of biology (growth of individuals
and populations). These models, which are linear and non-linear, use ordinary dierential equations
with initial conditions to better describe biological phenomena. The main objective of this study was the
application of one-step (Heun and Runge-Kutta) and multistep (Adams-Basforth and Adams-Moulton)
Numerical Methods for the resolution of initial value problems, to the proposed one-dimensional
mathematical models, with The purpose of making comparisons and determining which Numerical
Method was the one that best adjusted to the analytical solution of each Mathematical Model; For this,
as a computer support tool for the representation of data and its graphic form, the MATLAB program
was used, which is a numerical computing system that oers an integrated development environment
with its own programming language. The results of the application of each numerical method to the
analytical solution of the dierent mathematical models under study were obtained; Later, these
results were represented, plotted and interpreted and, from all the information and results obtained,
it was concluded that it is the Runge-Kutta method of order 4 that best adjusted or approximated the
analytical solution of each of the ve models; followed by the Adams-Basforth method of order 4, which
only presented problems when applied to the Gompertz model, presenting an unstable behavior in
the data obtained. The least adjusted method in all models is Heun’s of order two; the Adams-Moulton
method of order 4 presented an unstable behavior in the data obtained in all the chosen models.
Keywords: Mathematical Models, Numerical Methods, Population Dynamics, Ordinary Dierential
Equations, Initial Value Problems.
ANÁLISIS NUMÉRICO DE
MODELOS MATEMÁTICOS
UNIDIMENSIONALES
APLICADOS EN BIOLOGÍA
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Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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Introducción
“A lo largo de la historia, el hombre ha intentado hacer predicciones en diversas áreas, como la
demografía, economía, química, biología, meteorología, entre otras ciencias” (Ortiz Laso, 2016). “En la
actualidad los modelos matemáticos han ganado mayor importancia, debido a su relación con todas
estas ciencias” (Ulloa Ibarra & Rodríguez Carrillo, 2010). Por esta razón, los modelos matemáticos
nos son útiles para predecir fenómenos o para la toma de decisiones cuando son aplicados a
varios fenómenos de las diferentes ciencias de estudio; cuando su aplicación e interpretación son
correctas, estos son de gran ayuda y nos pueden evitar grandes costos. “Los primeros modelos
matemáticos aplicados en biología han sido quizás los modelos que intentan describir la dinámica
de poblaciones” (Ditz, 2015). “Los modelos matemáticos contribuyen al manejo y esclarecimiento
de la dinámica de las poblaciones y revisten especial interés como herramientas predictivas en las
especies” (Barranco y otros, 1999). “La palabra dinámica nos lleva, desde el punto de vista de la
matemática, a considerar la derivada como tasa de cambio instantánea” (Jiménez, 1997).
El concepto de derivada puede ser introducido con la ayuda de la física, pasando de “velocidad
promedio” a “velocidad instantánea”, de manera un tanto intuitiva. Ante la necesidad de
ajustar un modelo de forma óptima a un conjunto de datos, es mejor seleccionarlo a partir
de un grupo de modelos candidatos (incluidos con base a las características de la especie
bajo estudio) en lugar de asumir que existe el mejor modelo y usarlo ajustándolo a los
datos. (Aragón-Noriega, 2012)
Es por todo esto que el presente estudio tomó como referencia los trabajos realizados por
los autores (Espinosa Herrera y otros, 2010) de la Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad
Azcapotzalco de la Ciudad de México, quienes presentaron una investigación basada en el estudio
de las ecuaciones diferenciales y desarrollaron algunas aplicaciones del modelo de Malthus y de
Verhulst. El estudio presentado por (Hidalgo de la Toba, 2015) sobre el crecimiento individual de
la Almeja Panopea Generosa y la aplicación de la teoría de modelos múltiples, quien utilizó entre
algunos modelos, el de crecimiento de Gompertz en su investigación. El estudio de los autores
(González y otros, Enero - Junio 2019) el cual se basó en un análisis multimodelo del crecimiento de
Pseudoplatystoma orinocoense en la cuenca media del Orinoco, Venezuela, y entre esos modelos
que utilizaron aparece Von Bertalany. Finalmente, el estudio presentado por los investigadores
(Malhado y otros, 2008) quienes analizaron modelos no lineales para lograr predecir el crecimiento
de bufalinos de la raza Murrah y entre estos se destaca el modelo de Brody.
Sin embargo, en ninguno de estos trabajos se incluyó un análisis posterior basado en la
aplicación de métodos numéricos a los resultados obtenidos en la utilización de estos modelos
matemáticos en cada uno de los estudios en mención; análisis que permitió observar y determinar
el método de mejor ajuste a la solución analítica de cada modelo. Por ello, la presente investigación
aportó como complemento a cualquiera de estos estudios donde se aplicó un análisis multimodelo
de crecimiento tanto en talla como en peso de una determinada especie en lo referente a la
dinámica de las poblaciones.
Modelos matemáticos
De forma general, de acuerdo a (Parra y otros, 2019), “un modelo matemático es un conjunto de
ecuaciones que describe las relaciones entre un conjunto de objetos que conforman un sistema”.
Resolviendo estas ecuaciones podemos imitar o simular el comportamiento del sistema. En (San
Cristóbal Mateo, 2004) se indica que “un modelo matemático es una ecuación o un conjunto de
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ecuaciones que describen un fenómeno de cualquier índole”. Sus soluciones se aproximarán a la
realidad del fenómeno en estudio con cierto margen de error, dependiendo de los parámetros
de cada modelo. Además, en (Ladino Martínez, 2012) se arma que “la posibilidad de modelar
matemáticamente un sistema tiene su importancia en poder predecir con determinado acierto el
comportamiento futuro de éste, en circunstancias que no pueden o son difíciles de ser reproducidas
en un laboratorio”. Finalmente, en (Ulloa Ibarra y otros, 2013) se concluye que:
En la actualidad los modelos matemáticos han ganado mayor importancia, debido a su
relación con todas las ciencias Por esta razón los modelos matemáticos nos son útiles
para predecir fenómenos o para la toma de decisiones cuando son aplicados a varios
fenómenos de las diferentes ciencias de estudio; cuando su aplicación e interpretación son
correctas, estos son de gran ayuda y nos pueden evitar grandes costos.
Dinámica de las poblaciones (Modelos de crecimiento):
Según (Csirke B., 1989):
La dinámica de las poblaciones es el estudio de la vida del ente o unidad viviente que
denominamos población. Es una rama de la biología que, con el auxilio de otras ciencias,
principalmente de las matemáticas, trata de describir y cuanticar los cambios que
continuamente ocurren en la población.
En cambio (Ditz, 2015) arma que:
Los primeros modelos matemáticos aplicados en Biología han sido quizás los modelos
que intentan describir la dinámica de poblaciones. Para saber cómo evoluciona una
determinada población es necesario conocer o suponer cómo varía el número de efectivos
de dicha población (ecuación diferencial) y tener datos del número de individuos que
componen dicha población en un instante determinado (condiciones iniciales).
Modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología:
El estudio matemático de los cambios en poblaciones tiene una historia muy amplia. Es imposible
armar cuál fue el primer modelo matemático formulado para la dinámica de una población, sin
embargo, en el presente trabajo estudiaremos aquellos modelos unidimensionales de crecimiento
aplicados en la dinámica de las poblaciones en la rama de la Biología, empezando por el de
Malthus o modelo exponencial, seguido de Verhulst o modelo logístico, Gompertz, Von Bertalany
y nalizaremos con el modelo de Brody. Todos estos modelos lineales y no lineales utilizan
Ecuaciones o Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s) con condiciones iniciales
para su aplicación; los estudiaremos con más detalle a continuación.
Modelo de malthus o modelo exponencial:
De acuerdo a (May Cen, 2016):
Uno de los primeros modelos matemáticos aplicados al crecimiento poblacional es el que
en el año de 1798 el economista inglés Thomas Malthus desarrolló. La idea básica del
modelo es la suposición de que la velocidad a la que crece la población es proporcional al
tamaño de la misma.
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“El modelo de crecimiento de Malthus (también denominado modelo de crecimiento
exponencial) está formulado a través de un problema de valor inicial (PVI) basado en una ecuación
diferencial ordinaria (EDO) de primer orden lineal homogéneo a coecientes constantes” (Cortés
López y otros, 2013).
Según (Cortés López y otros, 2013) en este modelo las variables son:
p(t): Población en el instante t.
p0: Población inicial en el instante t_0.
α: Constante de crecimiento relativo de la población.
Además (Cortés López y otros, 2013) arma que “en el modelo de Malthus la población es
más grande, cuando el número de especies u organismos sea mayor. La constante α, puede ser
positiva o negativa, y esta indica cuando una población crece o decrece”.
Por un procedimiento sencillo, se puede llegar a la solución al modelo de Malthus:
En la Figura 1, se representa un caso particular de (2) para α=0.28768207245, en el que
se puede visualizar el crecimiento de una población de bacterias, transcurrido cierto periodo de
tiempo.
Figura 1. Representación gráca de la solución del modelo de crecimiento
exponencial de Malthus con parámetros: α=0.28768207245 y p_0=150.
Modelo de Verhulst o Modelo logístico:
De acuerdo a (May Cen, 2016):
El modelo logístico es un renamiento del modelo de Malthus. Cada vez que crece una
especie, en algún momento este crecimiento se va a ver limitado por la escasez de recursos
y otros factores que no permiten que una especie pueda crecer de forma exponencial.
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Hidalgo, J. (Enero - Junio de 2021). Análisis numérico de modelos matemáticos unidimensionales aplicados en biología. Sathiri (17)1, 339-373. https://doi.org/10.32645/13906925.1118
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De esta manera (Cortés López y otros, 2013) concluyen que “Verhulst consideró un término
de freno no lineal y demostró que este modelo expresa mejor cómo evoluciona una especie”. El
modelo resultante puede verse en (3).
Donde:
p(t): Población en el instante t.
r: Es la razón de crecimiento intrínseco.
K: Es la capacidad sustentable.
Por el método de separación de variables, se puede llegar a la solución al modelo de Verhulst:
En la Figura 2, se representa un caso particular de (4) para p(0)=K/4,r=0.71 y K=80.5*106 Kg
de biomasa, en el que se puede visualizar el crecimiento de la biomasa de cierta especie, transcurrido
cierto periodo.
Figura 2. Representación gráca de la solución del modelo logístico de Verhulst con parámetros:
p(0)=K/4,r=0.71 y K=80.5*106 Kg de Biomasa
Modelo de Gompertz:
Según (Cedrón Castro, 2016):
Benjamín Gompertz, fue miembro de una distinguida familia judía de orígenes germanos y
holandeses. Nació el 5 de marzo de 1779 en Londres, donde también murió el 14 de julio
de 1865. Desde la adolescencia, Gompertz estaba familiarizado con los tratados de los
matemáticos ingleses y franceses del siglo XVIII como Newton, Maclaurin o Emerson.
De acuerdo a (Trinidad Bello, 2014) la ecuación diferencial de Gompertz viene dada por la
siguiente expresión:
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Donde:
p(t): Población en el instante t.
A: Valor de crecimiento máximo de la población.
K: Tasa de crecimiento intrínseco.
La tasa de crecimiento del modelo, representada como:
Es de orden logarítmico. La ecuación diferencial de Gompertz se resuelve explícitamente
y sus soluciones son:
Donde:
p(t): Población en el instante t.
A: Valor del máximo de crecimiento y además determina un punto de inexión en A/e .
B: Valor positivo que traslada al modelo a la izquierda o a la derecha B=1/K
K: Tasa de crecimiento intrínseca.
En la Figura 3, se representa un caso particular de (7) para L(0)=12.22,A=118.62 y K=0.44,
en el que se puede visualizar el crecimiento o longitud de cierta especie, transcurrido cierto periodo
de tiempo.
Figura 3. Representación gráca de la solución del modelo de Gompertz con parámetros: L(0)=12.22,A=118.62 y K=0.44
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Modelo de Von Bertalany:
De acuerdo a (Chiappa Carrara y otros, 2009):
Este modelo expresa como crecen las especies tanto en talla como en peso de forma
individual. Su forma gráca representa una curva en la cual la pendiente disminuye
continuamente después de cierta edad, aproximándose a una asíntota superior paralela
al eje de la x. En la actualidad este modelo es uno de los más utilizados por biólogos para
los estudios de crecimiento en peces (alométrico e isométrico), así también en dinámica de
poblaciones o para el control del efecto de la pesca en dichas poblaciones.
Según (Trinidad Bello, 2014) la ecuación diferencial de Von Bertalany viene dada por la
siguiente expresión:
Por el método de separación de variables, se puede llegar a la solución al modelo de Von
Bertalany:
Donde:
L(t): Longitud del individuo al tiempo t.
A: Longitud máxima del individuo (asíntota máxima).
K: Parámetro de curvatura que indica qué tan rápido la longitud alcanzan su valor máximo.
t: Tiempo.
t0: Valor teórico del tiempo en el cual la longitud es igual a cero.
En la Figura 4, se representa un caso particular de (9) para L(0)=0,A=81.2 y K=0.386, en el
que se puede visualizar el crecimiento o longitud de cierta especie, transcurrido cierto periodo de
tiempo.
Figura 4. Representación gráca de la solución del modelo de Von Bertalany con parámetros: L(0)=0,A=81.2 y K=0.386
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Modelo de Brody:
Dentro del estudio de este modelo, podemos citar a (Ulloa Ibarra y otros, 2017) quienes maniestan
que “la representación del crecimiento requiere de la utilización de diferentes modelos, algunos
de ellos lineales y otros que no lo son, como el caso de los modelos sigmoidales que permiten
una buena representación de los procesos de crecimiento animal”. En cambio (Trinidad Bello,
2014) indica que, “en el modelo de Brody, su ecuación diferencial considera que la velocidad de
crecimiento en peso es proporcional al crecimiento que falta para llegar al peso máximo, Brody
extendió los trabajos desarrollados por Von Bertalany”.
De acuerdo a (Trinidad Bello, 2014) el modelo se representa por la siguiente ecuación diferencial:
Según (Trinidad Bello, 2014) al resolver la ecuación diferencial anterior, se integra y se
obtiene el modelo de Brody:
Donde:
P(t): Representa el peso del animal en el tiempo t.
A: Crecimiento o peso máximo asintótico, cuando t tiende al innito.
K: Índice de madurez.
B: Parámetro de ajuste, depende de la condición inicial en t = 0 y representa una
proporción del peso máximo.
En la Figura 5, se representa un caso particular de (11) para K=0.0011,A=688 y B=0.98, en
el que se puede visualizar el crecimiento en peso de cierta especie, transcurrido cierto periodo.
Figura 5. Representación gráca de la solución del modelo de Brody con parámetros: K=0.0011,A=688 y B=0.98